La matematica degli dèi e gli algoritmi degli uomini by Paolo Zellini

autore:Paolo Zellini
La lingua: ita
Format: mobi
editore: Adelphi
pubblicato: 2016-10-10T22:00:00+00:00

80. J. Stenzel, Zahl und Gestalt bei Platon und Aristoteles, Teubner, Leipzig-Berlin, 1924.

81. The Mānava-Śrautasūtra, trad. ingl. di J.M. van Gelder, The Śata-Piṭaka Series, vol. XXVII, International Academy of Indian Culture, New Delhi, 1963, p. 308.

82. Ibid., p. 300. La formula è reminiscente dell’analoga formula platonica «più e meno» che ricorre nei Dialoghi.

83. W. Knorr, Aristotle and Incommensurability: Some Further Reflections, in «Archive for History of Exact Sciences», XXIV, 1981.

84. Si ha l = dʹ + lʹ perché dʹ, la diagonale DF di Qʹ, è uguale al doppio del lato del quadrato di diagonale lʹ (dʹ = 2(lʹ/√2) = √2lʹ) e lʹ = CF = FE per la congruenza dei triangoli BCF e BFE. Si veda W. Knorr, Aristotle and Incommensurability, cit. e H. Rademacher, O. Toeplitz, Von Zahlen und Figuren, Springer, Berlin, 1933.

85. Il ragionamento per assurdo, analogo, per un verso, a quello del metodo di esaustione, poggia sul postulato di Archimede («date due grandezze omogenee, esiste sempre un multiplo della minore che supera la maggiore»), dal quale deriva il teorema di Euclide (Elementi, X, 1): «Date due grandezze disuguali, se si toglie dalla maggiore più della sua metà, dal resto più della sua metà e così via, si finirà per ottenere una grandezza minore della più piccola». Nel caso del quadrato, se esistesse una loro misura comune m, con l’antanaíresis si calcolerebbe un resto non nullo minore di m e divisibile per m: un assurdo. Il postulato di Archimede esclude l’esistenza di infinitesimi che, sommati un numero arbitrario di volte, non supererebbero mai una qualsiasi linea assegnata. Nessuna di queste entità potrebbe definire una misura comune di due grandezze.

86. Si ha precisamente: d = l + lʹ = 2lʹ + dʹ, l = lʹ + dʹ e lʹ = d – l, dʹ = 2l – d, dove d, l e dʹ, lʹ sono la diagonale e il lato, rispettivamente, del quadrato più grande e del quadrato più piccolo. Il vettore di componenti d e l si ottiene moltiplicando la matrice M con elementi 1 e 2 sulla prima riga e 1 e 1 sulla seconda riga per il vettore di componenti dʹ e lʹ, mentre il vettore di componenti dʹ e lʹ si ottiene moltiplicando l’inversa di M per il vettore di componenti d e l. Le relazioni geometriche tra diagonali e lati suggeriscono una procedura numerica. Ora si possono calcolare ricorsivamente i numeri d e l fissando per entrambi un valore iniziale uguale a 1 e usando le relazioni precedenti nel senso di una crescita progressiva dei quadrati. I primi valori calcolati saranno, rispettivamente, 3 e 2. Il rapporto d : l assume allora i valori 1 : 1, 3 : 2, 7 : 5, 17 : 12, 41 : 39, in cui i numeri d e l aumentano secondo la legge ricorsiva sopra indicata.

87. Ciò che si concepiva come rapporto d : l si può pure interpretare come una frazione d/l. Vi è implicito l’uso di un’unità di misura pari a 1/l. La frazione 17/12 denota una quantità pari a 17 volte un’unità di misura uguale a 1/12.

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